Distribuciones de Probabilidad

Una distribucion de probabilidad describe como se dispersan los valores de una variable. Entender distribuciones es fundamental para elegir los metodos estadisticos correctos y comunicar resultados.

La distribucion normal es la mas importante en estadistica. Tiene forma de campana y muchos fenomenos naturales la siguen.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# Generar datos normales
np.random.seed(42)
datos = np.random.normal(loc=170, scale=10, size=10000)  # Alturas en cm

# Propiedades
print(f"Media: {datos.mean():.2f}")
print(f"Desv. Est.: {datos.std():.2f}")
print(f"Skewness: {stats.skew(datos):.4f}")

# Regla 68-95-99.7
media = datos.mean()
std = datos.std()
print(f"\nRegla empirica:")
print(f"68% entre [{media-std:.1f}, {media+std:.1f}]: {((datos >= media-std) & (datos <= media+std)).mean():.1%}")
print(f"95% entre [{media-2*std:.1f}, {media+2*std:.1f}]: {((datos >= media-2*std) & (datos <= media+2*std)).mean():.1%}")
print(f"99.7% entre [{media-3*std:.1f}, {media+3*std:.1f}]: {((datos >= media-3*std) & (datos <= media+3*std)).mean():.1%}")

# Visualizar
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.hist(datos, bins=50, density=True, alpha=0.7, label='Datos')
x = np.linspace(datos.min(), datos.max(), 100)
ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, media, std), 'r-', lw=2, label='Curva normal')
ax.set_title('Distribucion de Alturas')
ax.set_xlabel('Altura (cm)')
ax.legend()
plt.show()

Test de normalidad

# Test de Shapiro-Wilk (para n < 5000)
stat, p_valor = stats.shapiro(datos[:5000])
print(f"Test Shapiro-Wilk: estadistico={stat:.4f}, p-valor={p_valor:.4f}")
print(f"Normal? {'Si' if p_valor > 0.05 else 'No'} (al 5% de significancia)")

# Test de D'Agostino-Pearson
stat, p_valor = stats.normaltest(datos)
print(f"\nTest D'Agostino: estadistico={stat:.4f}, p-valor={p_valor:.4f}")
print(f"Normal? {'Si' if p_valor > 0.05 else 'No'}")

Distribucion Log-Normal (salarios, precios)

# Los salarios tipicamente siguen una log-normal
np.random.seed(42)
salarios = np.random.lognormal(mean=10.8, sigma=0.5, size=5000)

print(f"Media: ${salarios.mean():,.0f}")
print(f"Mediana: ${np.median(salarios):,.0f}")
print(f"Skewness: {stats.skew(salarios):.2f}")

# Log-transformar para hacerla normal
log_salarios = np.log(salarios)
print(f"\nDespues de log-transformar:")
print(f"Skewness: {stats.skew(log_salarios):.4f}")
stat, p = stats.shapiro(log_salarios[:5000])
print(f"Normal? {'Si' if p > 0.05 else 'No'} (p={p:.4f})")

Distribucion Binomial (si/no, exito/fracaso)

# Simular: 100 emails enviados, 20% tasa de apertura
aperturas = np.random.binomial(n=100, p=0.20, size=1000)

print(f"Promedio de aperturas por campania: {aperturas.mean():.1f}")
print(f"Desv. Est.: {aperturas.std():.1f}")
print(f"Rango: [{aperturas.min()}, {aperturas.max()}]")

Distribucion de Poisson (eventos por unidad de tiempo)

# Simular: 5 clientes por hora en promedio
clientes_por_hora = np.random.poisson(lam=5, size=1000)

print(f"Promedio: {clientes_por_hora.mean():.2f} clientes/hora")
print(f"Probabilidad de 0 clientes: {(clientes_por_hora == 0).mean():.1%}")
print(f"Probabilidad de 10+ clientes: {(clientes_por_hora >= 10).mean():.1%}")

El Z-score te dice cuantas desviaciones estandar un valor esta del promedio.

# Calcular Z-scores
import pandas as pd

df = pd.DataFrame({
    'vendedor': ['Ana', 'Carlos', 'Maria', 'Luis', 'Sofia'],
    'ventas': [85000, 72000, 95000, 62000, 110000]
})

media_ventas = df['ventas'].mean()
std_ventas = df['ventas'].std()
df['z_score'] = (df['ventas'] - media_ventas) / std_ventas

print(df)
print(f"\nMedia: ${media_ventas:,.0f}")
print(f"Desv. Est.: ${std_ventas:,.0f}")

# Interpretacion
for _, row in df.iterrows():
    z = row['z_score']
    if abs(z) > 2:
        nivel = 'Excepcional'
    elif abs(z) > 1:
        nivel = 'Notable'
    else:
        nivel = 'Normal'
    print(f"{row['vendedor']}: z={z:.2f} ({nivel})")

Distribuciones de Probabilidad en Python

Crea un notebook 12_distribuciones.ipynb:

1. Genera 3 distribuciones diferentes (normal, log-normal, uniforme) y graficalas
2. Aplica el test de Shapiro-Wilk a cada una
3. Calcula Z-scores para un dataset real y clasifica outliers
4. Simula 1000 campanias de email con 15% de conversion y grafica la distribucion de resultados
5. Muestra como la transformacion logaritmica normaliza datos sesgados

Resumen

• Normal: Campana, simetrica. Usada en la mayoria de tests estadisticos
• Log-Normal: Sesgada a la derecha. Comun en salarios, precios
• Binomial: Conteo de exitos en n intentos
• Poisson: Conteo de eventos en un intervalo
• Z-Score: Estandarizar datos para comparar entre escalas
• Test de normalidad: Shapiro-Wilk para verificar si tus datos son normales